證明ln|x|的微分等於1/x

其實以前對於為何積分1/x等於ln(x)一直有疑問,大家都說是定義,要背起來。但我最討厭數學這個樣子了,我覺得數學要說服人,至少要把歷史背景說一下……這點看英文維基和中文維基百科的數學相關條目就很明顯了……有些公式在英文維基都有歷史敘述……但很遺憾我有些看不太懂,真希望將來能夠把他翻譯到中文維基……Orz

 

其實以前對於這個定義,是覺得1/x和ln(x)的圖型很像,會不會是因為這個原因而這樣定義的……但怎麼看都覺得怪怪的……也沒人解釋……

 

今天無意間看到一個式子e^(lnx)=x

 

這個公式的證明我有在之前證明"x的log b次方=b的log x次方",代入,所以e^lnx=x^lne,而lne=1,所以e^lnx=x。

 

而我無意間把這個式子左右微分,也就是d(e^lnx)=dx=1。

而d(e^lnx)=e^lnx*d (lnx)=1

因此,d(lnx)=1/e^lnx

而因為e^lnx=x,所以d(lnx)=1/x

而微分的相反就是積分,因此對1/x積分就是lnx……

勉強算是解開我多年的疑問……雖然我還是很想知道想出對lnx積分為1/x到底是怎麼想的……

因為我可以隨便定義一個數字,a^log(以a為底數)x=x,最後證明d(log(以a為底數的)x)=1/x

而這個a可以給任意數字……為何他要想e呢……

e的定義是1+1/1!+1/2!+.....或lim(n趨近於無限大)(1+1/n)^n

因此e這個自然數真的是挺吸引那些數學家(像是用人寫軟體版本,還故意驅聘於這個自然數勒)的……所以才用了那麼多可能的應用…… 

回應

嗯,找到當時的盲點

嗯,找到當時的盲點了。

對a^loga|x|微分

這個就麻煩了,先讓y=a^loga|x|

=>logay=loga|x|

左右對x微分變成........所以,這裡要知道,loga|x|的微分是多少

對loga|x|微分是 要將他拆成分子分母,然後再進行微分,簡單來說

就是loga|x|=ln|x| /lna

再進行微分

就變成了[d(ln|x|)lna+0] /(lna)2

看到了嗎?

還是要知道ln|x|微分到底是什麼才能進行分解。所以不是我之前說的,隨便找一個東西來代就ok的。

盲點找到

我繼續把之前的微分解完……

已知d(ln|x|)=1/x,所以對對loga|x|微分是(1/x)(lna)/(lna)2

消除一下,就是(1/x)/(lna) =1/(xlna)

再來回到前面要對y做x微分那裡 ,也就是左右式微分那裡

y'(1/y)(1/lna) =1/(xlna)

y'是我們要的,也就是對a^loga|x|微分,左右乘ylna

y'=y/x

因為剛剛令y= a^loga|x|

所以y'=a^loga|x|/x

再回到最一開始的左右式,也就是 a^log(以a為底數)x=x

左右微分的結果如下:

a^loga|x|/x=1

乘x後

a^loga|x|=x

噹噹!

還是一樣!

所以這個過程!沒意義!