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e^x求導數為

lim[dx->0][e^(x+dx)-e^x]/dx

=lim[dx->0](e^xe^dx-e^x)/dx

=lim[dx->0][e^x(e^dx-1)]/dx

這時

讓t=e^dx-1代入

以及求出dx

e^dx=t+1

所以

dx=ln(t+1)

dx->0代表t->0,因為e的0次方是1代表t+1要等於1,意即t必須要趨近於0

所以整個式子代入t和dx

變成

lim[t->0]e^x[t/ln(t+1)]

=lim[t->0]e^x[1/ln(t+1)*(1/t)]

利用a(lnb)=lnb^a性質

=lim[t->0]e^x[1/ln(t+1)^(1/t)]

因為e=lim[t->0](t+1)^(1/t) （註:亦等於lim[t->無限大][(1/t)+1]^t）

所以

=lim[t->0]e^x[1/lne]

=lim[t->0]e^x[1/1]

=lim[t->0]e^x

=e^x

我這邊好奇的是，在求這樣的極值時，可以完全忽略左邊的e^x嗎？

老實說我完全無解= ="""畢竟數學底子普普

這個證明是參考這的

http://wenwen.soso.com/z/q146125880.htm

根據http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%9E%81%E9%99%90_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29

下面規則裡的第三項

以下規則只有當等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立

• 
• 
• 
• ，如果分母的極限不為0。

只要右式並非無窮就可解釋我剛的疑問了

因為e是常數，e的x次方是函式，並非無窮大因此以下應該可成立

lim[t->0]e^x[1/ln(t+1)*(1/t)]

＝lim[t->0]e^x*lim[t->0][1/ln(t+1)^(1/t)]

為何？

就把e^x想成常數被提出一樣吧

在這邊看到

http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no5e.htm

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + …

也因為e^x微分後還是e^x

所以將右式微分後是成立的

就是

右式

=0+1+2x/2+3x²/3!+....

=1+1+x²/2!+.......

其實我更好奇想出這式子是怎麼想的

我還是認為數學所有的定義都是經過證明和合理思考的....我個人目前是以微分方式來認可

但我覺得很不夠確切就是.........

雖然很直覺

因為數學有些地方的證明是要靠約略猜測的

例如以前在離散數學算的同質

就是這篇文章提到的

http://sls.weco.net/blog/shortlin/09-nov-2006/8278

”與其讓tn等於一個X的未知數，不如讓tn等於一個未知數的n次方，因為這也是未知數”

推翻以往我們都以X當未知數為假設，用Xⁿ來當未知數（n為常數,不是未知數）

所以我是認為

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + …

的證明應該就得用e^x微分後還是e^x

來證明了

就像是

f'(x)=g'(x)

因此

f(x)=g(x)

的感覺

順便提一下上面連結提到的,下面這篇文章的證明(e^ix=cosx+isinx)

http://sls.weco.net/blog/shortlin/18-mar-2008/8982

直接套用

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! + …

便可得知

    e^ix = 1 + ix + (ix)²/2! + (ix)³/3! + (ix)⁴/4! + (ix)⁵/5! + …
   = 1 + ix - x²/2! - ix³/3! + x⁴/4! + ix⁵/5! + …
   = ( 1 - x²/2! + x⁴/4! + … ) + i( x - x³/3! + x⁵/5! + … )

將實部與虛部分開

再等於上面文章的證明

e^ix=cosx+isinx

就知道

cosx=( 1 - x²/2! + x⁴/4! + … )

sinx=( x - x³/3! + x⁵/5! + … )

這是將三角函式給一般函式化(自稱XD....因為我覺得一般的涵式就是由未知數組成的感覺)了

這種感覺真棒

代一下玩看看

cosπ=cos(3.14)=1-4.9298+4.0504-1.3312+0.23437+0.025676

大約只取這幾項=-1.24493

嗯...有0.2的落差呢.......不是接近-1.......我記得以前我在看工數時也這樣算過的樣.......難道只代3.14真的是不夠好= =?

直接丟到java寫

public class test1
{

  public static void main(String args[])
  {
 
  double sum=3.1415926359;

  System.out.println(cos(sum,9));

  }//end main

  public static int stair(int number)
  {
    if(number<=1)
    return 1;
    else
    return number*stair(number-1);
  }

  public static double E(double number,int time)
  {
    double result;
    result=number;
    for(int i=0;i<time-1;i++)
    result*=number;

    if(time==0)
    result=1;

    return result;
  }

  public static double cos(double number,int max)
  {
    double result;
    result=0.0;
    for(int i=0;i<max;i++)
    result+=E(number,i*2)/stair(i*2)*E(-1,i);

    return result;
  }
}//end class test

因為乘階會太大，所以只跑九項

答案是-0.96211008954951

嗯,接近-1

那應該沒問題了

再跑一個好了

cos(sum/3,9)

也就是cos60度

嗯,跑出來是

0.5000000046807013

很好

那應該沒問題了

冏.......我在幹什麼

花了半個早上在解這東西.......

只能說數學和程式真的退步很多,寫那啥鳥程式啊...可以用的數學涵式都忘光光且懶得找...自己寫當然又慢(抖)